3. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии - 18 человек, по тригонометрии - 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии - 9 человек, по геометрии и тригонометрии - 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько уча цихся решили все задачи?
Для решения данной задачи можно использовать принцип включения-исключения. Обозначим количество студентов, решивших каждую задачу, следующим образом:
- \( A \) — студенты, решившие задачу по алгебре: \( |A| = 20 \)
- \( B \) — студенты, решившие задачу по геометрии: \( |B| = 18 \)
- \( C \) — студенты, решившие задачу по тригонометрии: \( |C| = 18 \)
Также известны количества студентов, решивших две задачи:
- \( |A \cap B| = 7 \) (решили задачи по алгебре и геометрии)
- \( |A \cap C| = 9 \) (решили задачи по алгебре и тригонометрии)
- \( |B \cap C| = 8 \) (решили задачи по геометрии и тригонометрии)
Обозначим количество студентов, которые решили все три задачи, как \( x \).
Теперь можем использовать формулу включения-исключения для подсчёта общего количества студентов, которые решили хотя бы одну задачу:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]
Подставим известные значения:
\[ |A \cup B \cup C| = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + x \]
Упростим это равенство:
\[ |A \cup B \cup C| = 56 - 24 + x = 32 + x \]
Теперь известно, что 3 студента не решили ни одной задачи, следовательно, 40 студентов – это общее количество участников:
\[ |A \cup B \cup C| + 3 = 40 \]
Следовательно,
\[ 32 + x + 3 = 40 \]
Решим это уравнение для \( x \):
\[ 32 + x = 37 \] \[ x = 37 - 32 \] \[ x = 5 \]
Таким образом, количество студентов, которые решили все три задачи, равно 5.
