1,2,3,4,5
Привет! Давай разберем каждую задачу по порядку.
Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6x² - 12x.
Сначала найдем производную функции: у' = 12x - 12. Приравняв производную к нулю, находим критическую точку: x = 1.
Проверим знаки производной на интервалах:
- Для x < 1, у' < 0 (функция убывает).
- Для x > 1, у' > 0 (функция возрастает).
Ответ: убывает на (-∞, 1); возрастает на (1, ∞).
Найти точки экстремума функции у = x³ - 3x.
Найдем производную: у' = 3x² - 3. Приравниваем производную к нулю: 3x² - 3 = 0, x² = 1, x = ±1.
Исследуем знак производной:
- Для x < -1, у' > 0.
- Для x = -1, у' меняет знак с плюс на минус (максимум).
- Для -1 < x < 1, у' < 0.
- Для x = 1, у' меняет знак с минус на плюс (минимум).
- Для x > 1, у' > 0.
Ответ: максимум в x = -1, минимум в x = 1.
Построить график функции: у = x³ - 3x.
Найдем точки перегиба. Наша вторая производная: у'' = 6x. Приравняем к нулю: x = 0. Это точка перегиба.
Определим поведение функции:
- При x < 0, у'' < 0 (функция вогнута вниз).
- При x > 0, у'' > 0 (функция вогнута вверх).
График пройдет через точки (-1, 2), (0, 0), и (1, -2).
Найти наибольшие и наименьшие значения функции у = x⁴ - 4x на отрезке [1, 5].
Найдем производную: у' = 4x³ - 4. Приравняем к нулю: 4x³ - 4 = 0, x³ = 1; x = 1.
Проверим значения на концах отрезка и в точке x = 1:
- у(1) = 1 - 4 = -3.
- у(5) = 625 - 20 = 605.
Наибольшее значение на отрезке: 605, наименьшее: -3.
Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м. Найти его размеры, чтобы объем был наибольшим.
Обозначим стороны основания за x и y. У нас 2x + 2y = 8, соответственно x + y = 4.
Площадь основания S = xy. Используем метод множителей Лагранжа или подставим y = 4 - x:
- S = x(4 - x) = 4x - x².
Найдем производную: S' = 4 - 2x. Приравняем к нулю: x = 2. Тогда y = 2.
Площадь максимальна при x = 2 и y = 2.
Высота может быть любой, максимальный объем будет равен площади основания умноженной на высоту (длина).
Если будут вопросы, обращайся! 😊
