14. Биссектриса острого угла прямоугольника делит его большую сторону отрезки 8,2 см и 3,4 см. Найти периметр прямоугольника.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим прямоугольник как ABCD, где A – нижний левый угол, B – нижний правый угол, C – верхний правый угол, а D – верхний левый угол. Предположим, что сторона AB (ширина) больше, чем сторона AD (высота).

Биссектрисса острого угла прямоугольника делит его угол пополам. Мы знаем, что отрезки, которые она делит на стороне AB, составляют 8,2 см и 3,4 см.

Обозначим:

• \(x = 8.2 \, \text{см}\) (долгий отрезок)
• \(y = 3.4 \, \text{см}\) (короткий отрезок)

Согласно свойству биссектриссы, отношение отрезков на противоположной стороне совпадает с отношением прилегающих сторон:

\[ \frac{x}{y} = \frac{AD}{AB} \]

Подставим значения:

\[ \frac{8.2}{3.4} = \frac{AD}{AB} \]

Теперь находим это отношение:

\[ \frac{8.2}{3.4} = \frac{82}{34} = \frac{41}{17} \]

Это дает нам следующее соотношение между сторонами:

\[ AD = k \cdot 41, \quad AB = k \cdot 17 \]

где \(k\) - некий множитель.

Теперь заменим стороны в формуле для периметра прямоугольника:

\[ P = 2(AB + AD) = 2(k \cdot 17 + k \cdot 41) = 2k(17 + 41) = 2k \cdot 58 = 116k \]

Для того чтобы найти \(k\), используем пункт деления:

Известно, что основание прямоугольника равно \( x + y = 8.2 + 3.4 = 11.6 \, \text{см} \).

Поэтому можно составить уравнение: \[ AB = 11.6 \Rightarrow k \cdot 17 = 11.6 \Rightarrow k = \frac{11.6}{17} = 0.6824 \]

Теперь подставляем значение \(k\) обратно в формулу для периметра:

\[ P = 116k = 116 \cdot 0.6824 \approx 79.3 \, \text{см} \]

Таким образом, периметр прямоугольника составляет приблизительно \( \boxed{79.3 \, \text{см}} \).