Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Для нахождения площади поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам нужно найти две вещи: площадь основания и площадь боковых граней.
Площадь основания: Поскольку основание пирамиды является квадратом со сторонами длиной 16, площадь основания (S_осн) вычисляется по формуле: \[ S_{\text{осн}} = a^2, \] где \( a \) - длина стороны квадрата. \[ S_{\text{осн}} = 16^2 = 256 \, \text{единиц площади}. \]
Площадь боковых граней: Четырёхугольная пирамида имеет 4 треугольные боковые грани. Чтобы найти площадь одной из боковых граней, необходимо знать её высоту. Поскольку боковые рёбра равны 17, мы можем найти высоту треугольника, проведя перпендикуляр из вершины пирамиды на основание, которое будет делить сторону квадрата пополам и образовывать прямоугольный треугольник.
Длина половины стороны квадрата: \[ \frac{16}{2} = 8. \]
Теперь в правом треугольнике, где:
- гипотенуза (боковое ребро) равна 17,
- одна из катетов (половина основания) равна 8.
С помощью теоремы Пифагора найдем высоту (h) бокового треугольника: \[ h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15. \]
Теперь можно вычислить площадь одного бокового треугольника (S_бок): \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 120 \, \text{единиц площади}. \]
Поскольку у нас 4 боковые грани: \[ S_{\text{всего бокового}} = 4 \times S_{\text{бок}} = 4 \times 120 = 480 \, \text{единиц площади}. \]
- Суммарная площадь поверхности: Теперь сложим площади основания и боковых граней: \[ S_{\text{поверхности}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{всего бокового}} = 256 + 480 = 736 \, \text{единиц площади}. \]
Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 736 единиц площади.
