Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 20, боковые рёбра равны 26. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Для того чтобы найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо учесть площадь основания и площадь четырёх треугольных боковых граней.
Площадь основания: Основание является квадратом, так как это правильная четырёхугольная пирамида. Сторона квадрата равна 20. Площадь квадрата можно вычислить по формуле:
\[ S_{осн} = a^2 \]
где \( a \) – длина стороны. Подставим значение:
\[ S_{осн} = 20^2 = 400 \]
Площадь боковых граней: Каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне квадрата (20), и боковыми рёбрами, равными 26.
Чтобы найти высоту треугольника, воспользуемся пифагоровой теоремой. Высота \( h \) треугольника делит основание пополам, поэтому:
\[ \frac{a}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
Теперь найдем высоту \( h \):
\[ h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \]
Площадь одной боковой грани можно найти по формуле для площади треугольника:
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
Подставим значения:
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 20 \times 24 = 240 \]
Поскольку у нас четыре боковых грани, вычисляем общую площадь боковых граней:
\[ S_{бок} = 4 \times S_{треугольника} = 4 \times 240 = 960 \]
Общая площадь поверхности: Теперь сложим площадь основания и площадь боковых граней:
\[ S_{поверхности} = S_{осн} + S_{бок} = 400 + 960 = 1360 \]
Итак, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды составляет 1360 квадратных единиц.
