Cos2x +sin(-x)-1=0 [П/2;2П]

Чтобы решить уравнение \( \cos(2x) + \sin(-x) - 1 = 0 \) на интервале \( \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] \), начнём с упрощения:

1. Вспомним, что \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Это подставим в уравнение: \[ \cos(2x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

2. Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \sin(x) - 1 = 0 \] Упростим: \[ 2\cos^2(x) - \sin(x) - 2 = 0 \]

3. Используя тригонометрическую тождество \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), что позволяет нам выразить уравнение только через синус: \[ 2(1 - \sin^2(x)) - \sin(x) - 2 = 0 \] Затем упростим: \[ 2 - 2\sin^2(x) - \sin(x) - 2 = 0 \] Это даёт: \[ -2\sin^2(x) - \sin(x) = 0 \]

4. Вынесем общий множитель: \[ -\sin(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \] Теперь мы можем решить это уравнение:

   • \( \sin(x) = 0 \)
   • \( 2\sin(x) + 1 = 0 \) или \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \)

5. Теперь найдем корни на интервале \( \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] \):

   • Для \( \sin(x) = 0 \): корни \( x = \pi \) и \( x = 2\pi \).
   • Для \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \): на данном интервале решение даёт \( x = \frac{7\pi}{6} \) и \( x = \frac{11\pi}{6} \).

Следовательно, окончательные корни уравнения на заданном интервале:

• \( x = \pi \)
• \( x = 2\pi \)
• \( x = \frac{7\pi}{6} \)
• \( x = \frac{11\pi}{6} \)

Если есть дополнительные вопросы по тригонометрии или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!