В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA 4/5, AC =9 Найдите AB

В треугольнике ABC, где угол C равен 90° (т.е. треугольник прямоугольный), мы можем использовать свойства тригонометрических функций, чтобы найти длину стороны AB.

Дано:

• \( \sin A = \frac{4}{5} \)
• \( AC = 9 \)

Сначала используем определение синуса. В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению длины противолежащей стороны (в данном случае, стороны BC) к длине гипотенузы (стороне AB):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Так как \( \sin A = \frac{4}{5} \), мы можем записать:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} \]

Отсюда следует, что:

\[ BC = \frac{4}{5} AB \]

Теперь мы знаем, что AC = 9. Поскольку AC – это одна из катетов, а угол C прямой, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения. Сначала нам нужно выразить BC через AB:

1. Подставим AC: \[ AB^2 = 9^2 + \left(\frac{4}{5} AB\right)^2 \]

2. Посчитаем: \[ AB^2 = 81 + \left(\frac{16}{25} AB^2\right) \]

3. Умножим все на 25, чтобы избавиться от дробей: \[ 25 AB^2 = 2025 + 16 AB^2 \]

4. Переносим все на одну сторону: \[ 25 AB^2 - 16 AB^2 = 2025 \]

5. Получаем: \[ 9 AB^2 = 2025 \]

6. Теперь делим обе стороны на 9: \[ AB^2 = 225 \]

7. И находим длину AB: \[ AB = \sqrt{225} = 15 \]

Итак, длина стороны AB равна 15.