В треугольнике ABC, где угол C равен 90° (т.е. треугольник прямоугольный), мы можем использовать свойства тригонометрических функций, чтобы найти длину стороны AB.
Дано:
- ( \sin A = \frac{4}{5} )
- ( AC = 9 )
Сначала используем определение синуса. В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению длины противолежащей стороны (в данном случае, стороны BC) к длине гипотенузы (стороне AB):
[
\sin A = \frac{BC}{AB}
]
Так как ( \sin A = \frac{4}{5} ), мы можем записать:
[
\frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}
]
Отсюда следует, что:
[
BC = \frac{4}{5} AB
]
Теперь мы знаем, что AC = 9. Поскольку AC – это одна из катетов, а угол C прямой, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения AB:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения. Сначала нам нужно выразить BC через AB:
Подставим AC:
[
AB^2 = 9^2 + \left(\frac{4}{5} AB\right)^2
]
Посчитаем:
[
AB^2 = 81 + \left(\frac{16}{25} AB^2\right)
]
Умножим все на 25, чтобы избавиться от дробей:
[
25 AB^2 = 2025 + 16 AB^2
]
Переносим все на одну сторону:
[
25 AB^2 - 16 AB^2 = 2025
]
Получаем:
[
9 AB^2 = 2025
]
Теперь делим обе стороны на 9:
[
AB^2 = 225
]
И находим длину AB:
[
AB = \sqrt{225} = 15
]
Итак, длина стороны AB равна 15.
