найти все значения a, при каждом из которых все решения неравенства x²-(8a+6)x+15a²+30a≤0
Для решения неравенства \( x^2 - (8a + 6)x + (15a^2 + 30a) \leq 0 \) необходимо найти значения параметра \( a \), при которых это неравенство имеет решения.
Параметрическое неравенство: Давайте сначала определим дискриминант квадратного трёхчлена. Общая форма квадратного уравнения имеет вид \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где
- \( A = 1 \)
- \( B = -(8a + 6) \)
- \( C = 15a^2 + 30a \)
Дискриминант \( D \) данного уравнения вычисляется по формуле: \[ D = B^2 - 4AC \] Подставляем значения \( A \), \( B \) и \( C \): \[ D = (-(8a + 6))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15a^2 + 30a) \] Упрощая, получим: \[ D = (8a + 6)^2 - 60a^2 - 120a \] Раскроем скобки: \[ D = 64a^2 + 96a + 36 - 60a^2 - 120a = 4a^2 - 24a + 36 \] Упрощаем: \[ D = 4(a^2 - 6a + 9) = 4(a - 3)^2 \]
Условия для неравенства: Для того чтобы неравенство \( x^2 - (8a + 6)x + (15a^2 + 30a) \leq 0 \) имело решения, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: \[ D \geq 0 \]
Так как \( D = 4(a - 3)^2 \), это неравенство выполняется, когда: \[ (a - 3)^2 \geq 0 \] Это неравенство выполняется для всех \( a \), поскольку квадрат любого числа неотрицателен.
Итоговые значения \( a \): Таким образом, все значения параметра \( a \) \( (a \in \mathbb{R}) \) приведут к тому, что неравенство имеет решения.
Для более строгого вывода мы можем отметить, что уравнение будет иметь два одинаковых корня \( a = 3 \) (при \( D = 0 \)), и неравенство будет выполняться у интервалов, содержащих этот корень.
Таким образом, все значения \( a \) удовлетворяют условию, при котором у неравенства имеются решения.
