y= sin (2x+3) найти область определения, проверяем четность, находим периодичность, находим нули функции, находим промежутки знакопостоянства, определить монотонность, уточняем…

Для функции \( y = \sin(2x + 3) \) давайте поэтапно решим все поставленные задачи.

1. Область определения: Функция синуса определена для всех вещественных чисел. Следовательно, область определения функции: \[ D = (-\infty; +\infty) \]

2. Проверка четности: Функция \( y = \sin(2x + 3) \) не является четной, так как для четных функций выполняется условие \( f(-x) = f(x) \). Проверим: \[ f(-x) = \sin(-2x + 3) = \sin(3 - 2x) \neq \sin(2x + 3) = f(x) \] Следовательно, функция нечетная.

3. Находим периодичность: Период функции синуса равен \( 2\pi \). В функции \( \sin(kx) \) период будет вычисляться как: \[ T = \frac{2\pi}{|k|}, \quad где \, k = 2 \] Таким образом, период данной функции: \[ T = \frac{2\pi}{2} = \pi \]

4. Нули функции: Чтобы найти нули функции, мы решаем уравнение: \[ \sin(2x + 3) = 0 \] Это уравнение выполняется, когда аргумент синуса равен \( n\pi \) (где \( n \) – целое число): \[ 2x + 3 = n\pi \quad \Rightarrow \quad 2x = n\pi - 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{n\pi - 3}{2} \]

5. Промежутки знакопостоянства: Для определения промежутков знакопостоянства согласуем \( \sin(2x + 3) \) с нулями. Поскольку функция синуса принимает положительные значения в интервалах: \[ \left( n\pi - 3 - \frac{\pi}{2}, n\pi - 3 + \frac{\pi}{2} \right) \] А отрицательные в интервалах: \[ \left( n\pi - 3 + \frac{\pi}{2}, n\pi - 3 + \frac{3\pi}{2} \right) \]

6. Определяем монотонность: Для определения монотонности функции, найдем производную: \[ y' = 2 \cos(2x + 3) \] Функция возрастает, когда \( y' > 0 \) и убывает, когда \( y' < 0 \). Это происходит, когда: \[ \cos(2x + 3) > 0 \quad (на возрастающих интервалах) \] В интервалах, где косинус отрицателен, функция убывает.

7. Уточняем области определения и изменения функции: Мы уже выяснили, что область определения \( D = (-\infty; +\infty) \) и функцией сменяются знаки и монотонность на каждом промежутке от \( n\pi - 3 \).

8. Находим максимум и минимум: Максимум функции \( \sin(2x + 3) = 1 \) достигается, когда \( 2x + 3 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), а минимум \( \sin(2x + 3) = -1 \), когда \( 2x + 3 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). Таким образом, эти максимумы и минимумы будут чередоваться с периодом \( \pi \).

Теперь все необходимые шаги выполнены! Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!