Через точку М, лежащую между параллельными плоскостями а и В, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскости а и В в точках А1 и А2 соответственно, прямая b -- в точках В1…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть две параллельные плоскости: плоскость \( a \) и плоскость \( b \), между которыми лежит точка \( M \). Прямые \( a \) и \( b \) пересекают плоскости в точках \( A_1, A_2 \) и \( B_1, B_2 \) соответственно.

Согласно условию, отношение отрезков \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \) составляет \( 3:4 \). Это означает, что:

\[ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{3}{4} \]

Пусть:

\[ A_1B_1 = 3x \quad \text{и} \quad A_2B_2 = 4x \]

Теперь мы знаем, что отрезок \( B_1B_2 \) равен 14 см. При этом длина отрезка \( B_1B_2 \) равна сумме отрезков \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \):

\[ B_1B_2 = A_2B_2 - A_1B_1 = B_2 - B_1 \]

С подстановкой значений:

\[ B_1B_2 = A_2B_2 - A_1B_1 = 4x - 3x = x \]

Следовательно, у нас есть:

\[ x = 14 \, \text{см} \]

Теперь найдем значения отрезков \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \):

\[ A_1B_1 = 3x = 3 \times 14 = 42 \, \text{см} \]

\[ A_2B_2 = 4x = 4 \times 14 = 56 \, \text{см} \]

Теперь можем определить отрезок \( MB_2 \). Вычислим его, используя свойства параллельных плоскостей. Так как точка \( M \) принадлежит отрезку \( A_1A_2 \) и разбивает его на два отрезка, то можем использовать пропорцию:

Точка \( M \) делит отрезки \( A_1B_1 \) и \( A_2B_2 \) пропорционально. То есть, если назначим \( MB_1 = m \) и \( MB_2 = n \), то:

\[ \frac{m}{n} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{3}{4} \]

Зная значение \( B_1B_2 \) (14 см), можем записать:

\[ m + n = 14 \]

С учетом пропорции, выразим \( m \):

\[ m = \frac{3}{4}n \]

Теперь подставим \( m \) в уравнение:

\[ \frac{3}{4}n + n = 14 \]

Объединим и упростим:

\[ \frac{3n + 4n}{4} = 14 \]

\[ \frac{7n}{4} = 14 \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ 7n = 56 \]

Теперь найдем \( n \):

\[ n = \frac{56}{7} = 8 \]

Таким образом, \( MB_2 = n = 8 \, \text{см} \).

Итак, отрезок \( MB_2 \) равен 8 см.