Задача № 1. Человек на лодке переплывает реку, двигаясь вдоль отрезка АВ. Расстояние вниз по течению реки СВ=b=100 м. Скорость течения реки v=5 м/с. Лодка движется с наименьшей…

Давайте решим каждую из предложенных задач по очереди.

Задача № 1

Дано:

• Расстояние вниз по течению (СВ) \( b = 100 \, \text{м} \)
• Скорость течения реки \( v = 5 \, \text{м/с} \)
• Скорость движения лодки относительно воды \( u = 3 \, \text{м/с} \)

Решение: Человек в лодке движется вдоль отрезка АВ. Чтобы минимизировать время переправы, ему нужно перпендикулярно течению реки. Поскольку скорость лодки относительно воды равна \( u \), а скорость течения реки равна \( v \), то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения ширины реки \( a \).

1. Время \( t \) переправы можно выразить как: \[ t = \frac{a}{u} \]

2. За это время река снесет лодку на расстояние на длину течения: \[ b = v \cdot t = v \cdot \frac{a}{u} \] Подставим известные значения: \[ 100 = 5 \cdot \frac{a}{3} \] Решим уравнение относительно \( a \): \[ a = \frac{100 \cdot 3}{5} = 60 \, \text{м} \]

Ответ: Ширина реки \( a = 60 \, \text{м} \).

Задача № 2

Дано:

• Масса веревки \( m = 10 \, \text{кг} \)
• Угол \( \alpha = 60^\circ \)

Решение: Когда веревка натянута, сила натяжения в висячей веревке одинаковая. В нижней точке веревки натяжение будет максимальным.

1. В горизонтальном направлении сумма сил: \[ T_x = T \cdot \cos(\alpha) \]

2. В вертикальном направлении: \[ T_y = T \cdot \sin(\alpha) \]

Для вертикальной компоненты силы: \[ T_y = mg \] где \( g \) — ускорение свободного падения. В этом случае: \[ T \cdot \sin(60^\circ) = mg \] Теперь подставим значения: \[ T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot 9.8 \, \text{(используем g = 9.8 м/с²)} \] Отсюда: \[ T = \frac{10 \cdot 9.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{98}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{196}{\sqrt{3}} \approx 113.14 \, \text{Н} \]

Ответ: Сила натяжения веревки в нижней точке \( T \approx 113.14 \, \text{Н} \).

Задача № 3

Дано:

• Масса шарика \( m = 20 \, \text{г} = 0.02 \, \text{кг} \)
• Плотность материала \( \rho = 4 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3 \)
• Выделившееся количество теплоты \( Q = 0.15 \, \text{Дж} \)
• Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)

Решение:

1. Объем шарика: \[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.02 \, \text{кг}}{4 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3} = 5 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^3 \]

2. Работа, совершенная шариком, равна: \[ W = mgh \] Отсюда: \[ h = \frac{W}{mg} = \frac{Q}{mg} = \frac{0.15}{0.02 \cdot 10} = 0.75 \, \text{м} \]

Ответ: Высота воды в сосуде \( h = 0.75 \, \text{м} \).

Задача № 4

Дано:

• Испарилось 12,7% воды
• Оставшаяся вода превратилась в лед при 0 °C

Решение: Обозначим:

• \( L = \) удельная теплота плавления льда
• \( Q_e = \) удельная теплота испарения воды

1. Если \( m \) – начальная масса воды, то испарилась \( 0.127 m \), а оставшаяся масса \( (1 - 0.127)m = 0.873m \).

2. Для превращения оставшейся воды в лед выделяется теплота: \[ Q_{лед} = 0.873m \cdot L \]

3. Мы знаем, что испарение 12,7% воды тоже сопровождается выделением тепла: \[ Q_{испарение} = 0.127m \cdot Q_e \]

Приравниваем тепло, выделившееся при испарении, к теплоте, необходимой для превращения оставшейся воды в лед: \[ 0.873m \cdot L = 0.127m \cdot Q_e \]

Упрощаем: \[ 0.873L = 0.127Q_e \]

И находим отношение: \[ \frac{Q_e}{L} = \frac{0.873}{0.127} \approx 6.88 \]

Ответ: Отношение \( \frac{Q_e}{L} \approx 6.88 \).