Даны векторы a{2;1;-5}, b{0;4;6}, c{-3;1;0}.Найдите координаты вектора p=2b-3a+c и запишите его разложение по единичным векторам
Чтобы найти координаты вектора \( p = 2b - 3a + c \), сначала определим каждый вектор:
- \( a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \)
- \( b = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \)
- \( c = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Теперь вычислим \( 2b \), \( -3a \) и сложим их с вектором \( c \).
Выразим \( 2b \): \[ 2b = 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
Выразим \( -3a \): \[ -3a = -3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} \]
Теперь сложим \( 2b \), \( -3a \) и \( c \): \[ p = 2b - 3a + c = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Теперь складываем координаты векторов по компонентам:
Для первой компоненты: \[ 0 - 6 - 3 = -9 \]
Для второй компоненты: \[ 8 - 3 + 1 = 6 \]
Для третьей компоненты: \[ 12 + 15 + 0 = 27 \]
Таким образом, координаты вектора \( p \) равны: \[ p = \begin{pmatrix} -9 \\ 6 \\ 27 \end{pmatrix} \]
Теперь запишем разложение вектора \( p \) по единичным векторам. Мы можем воспользоваться стандартными единичными векторами \( e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Разложение вектора \( p \) будет выглядеть следующим образом: \[ p = -9 e_1 + 6 e_2 + 27 e_3 \]
Таким образом, вектор \( p \) можно записать как: \[ p = -9 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 27 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
