Решите уравнение sin² x-4 sin x+3=0

Чтобы решить уравнение \( \sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение можно записать как:

\[ y^2 - 4y + 3 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \). Подставим значения:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \]

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}. \]

Это дает нам два решения:

1. \( y_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернемся к нашей оригинальной переменной \( \sin x \):

1. \( \sin x = 3 \): это значение вне диапазона функции синуса, поэтому решений для этого корня нет.
2. \( \sin x = 1 \): для этого уравнения

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \]

где \( k \) — любое целое число.

Итак, единственным решением нашего уравнения является:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]