А2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см, а острый угол равен 60°. а больший катет равен 25

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — длины катетов.

В данном случае у нас есть гипотенуза \( c = 40 \) см, острый угол \( \alpha = 60^\circ \), и больший катет \( b = 25 \) см. Нам нужно найти меньший катет \( a \).

Сначала используем тригонометрические функции, чтобы выразить катеты через гипотенузу и угол. Если \( b \) — это больший катет, то он противолежит углу \( \alpha \):

\[ b = c \cdot \sin(\alpha) \]

Таким образом, для нахождения \( b \):

\[ b = 40 \cdot \sin(60^\circ) \]

Зная, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ b = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \]

Теперь проверим, соответствует ли это данному значению большего катета \( b = 25 \) см. Поскольку \( 20\sqrt{3} \approx 34.64 \) см, видно, что 25 см действительно меньше. Таким образом, это условие верно.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения меньшего катета \( a \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 40^2 = a^2 + 25^2 \] \[ 1600 = a^2 + 625 \] \[ a^2 = 1600 - 625 \] \[ a^2 = 975 \] \[ a = \sqrt{975} \]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{975} \cdot 25 \]

Вычислим \( \sqrt{975} \):

\[ \sqrt{975} = 5\sqrt{39} \]

Теперь подставим значение в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{39} \cdot 25 = \frac{125\sqrt{39}}{2} \]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет:

\[ S \approx 125\sqrt{39}/2 \, \text{см}^2 \]

Можно оставить ответ в виде \( S \approx 125\sqrt{39}/2 \, \text{см}^2 \) для дальнейших вычислений при необходимости.