задание 2

Привет! Давай разберемся с заданием.

Задание 2.1 (решить систему):

Система уравнений:

1. 2x + y + 3z = 18
2. 4x + y + 9z = 42
3. 8x + y + 27z = 105

Используем метод подстановки или исключения. Заметим, что у нас во всех уравнениях присутствует y, поэтому имеет смысл начать с исключения его.

1. Вычитаем первое уравнение из второго: (4x + y + 9z) - (2x + y + 3z) = 42 - 18 Получаем: 2x + 6z = 24

2. Вычитаем второе уравнение из третьего: (8x + y + 27z) - (4x + y + 9z) = 105 - 42 Получаем: 4x + 18z = 63

Теперь имеем систему из двух уравнений:

1. 2x + 6z = 24
2. 4x + 18z = 63

Первое уравнение можно упростить, разделив на 2: x + 3z = 12

Теперь система:

1. x + 3z = 12
2. 4x + 18z = 63

Теперь умножим первое уравнение на 4: 4x + 12z = 48

Итак:

1. 4x + 12z = 48
2. 4x + 18z = 63

Вычтем первое уравнение из второго: (4x + 18z) - (4x + 12z) = 63 - 48 Получаем: 6z = 15

Находим z: z = 15 / 6 = 2.5

Подставляем значение z в упрощенное уравнение: x + 3(2.5) = 12 x + 7.5 = 12 x = 4.5

Теперь находим y, подставляя значения x и z в первое уравнение: 2(4.5) + y + 3(2.5) = 18 9 + y + 7.5 = 18 y = 18 - 16.5 y = 1.5

Ответ: x = 4.5, y = 1.5, z = 2.5

Задание 2.2 (вычислить A^-1(B + C)):

Для начала сложим матрицы B и C: \[B + C = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 6 & 8 \\ 11 & 13 \end{array}\right)\]

Теперь нужно найти обратную матрицу A. Обратная матрица A решается с использованием формулы для 2x2 матрицы.

Значит, для матрицы A: A = \(\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right)\)

Обратная матрица A: \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)\)

Где det(A) = 25 - 34 = 10 - 12 = -2

adj(A) = \(\left(\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{array}\right)\)

Таким образом, обратная матрица A: \(A^{-1} = -\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{array}\right)\)

Теперь найдем произведение A^-1(B + C): \(A^{-1}(B + C) = -\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 6 & 8 \\ 11 & 13 \end{array}\right)\)

Умножим матрицы: Результат \(- \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 5*6 + (-3)*11 & 5*8 + (-3)*13 \\ -4*6 + 2*11 & -4*8 + 2*13 \end{array}\right)\)

Рассчитаем: =\(- \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 30 - 33 & 40 - 39 \\ -24 + 22 & -32 + 26 \end{array}\right)\) =\(- \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ -2 & -6 \end{array}\right)\)

Умножим на -1/2: Результат = \(\left(\begin{array}{cc} 1.5 & -0.5 \\ 1 & 3 \end{array}\right)\)

Готово!

Задание 2.3 (вычислить определитель):

Даны матрица: \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)\)

Вычислим определитель методом сарруса (как для матрицы 3x3): det = 1*(-1)1 + 243 + 3(-2)*2 - (3)(-1)(3) - (1)(4)(3) - (2)(-2)(1)

Вычисляем: = (-1) + 24 - 12 + 9 - 12 + 4

Результат: = 12

Это всё! Если будут вопросы, пиши! 😊