Вычислите скалярное произведение векторов m и n, если m=a+2b-c,n=2a-b, |a|=2 , |b|=3; a угол между векторами a и b=60градусам : c перпендикулярно a ; c перпендикулярно B наптсать…

Для решения задачи вычислим скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \).

Дано:

• Векторы:
  • \( m = a + 2b - c \)
  • \( n = 2a - b \)
• Длина векторов:
  • \( |a| = 2 \)
  • \( |b| = 3 \)
• Угол между векторами \( a \) и \( b \) составляет \( 60^\circ \).
• Вектор \( c \) перпендикулярен как \( a \), так и \( b \).

Шаг 1: Находим скалярные произведения

Сначала найдем \( m \cdot n \):

\[ m \cdot n = (a + 2b - c) \cdot (2a - b) \]

Шаг 2: Раскроем скалярное произведение

Используем дистрибутивность скалярного произведения:

\[ m \cdot n = a \cdot (2a - b) + 2b \cdot (2a - b) - c \cdot (2a - b) \]

Эти три части мы рассмотрим отдельно.

1. Первое произведение: \[ a \cdot (2a - b) = 2a \cdot a - a \cdot b = 2|a|^2 - a \cdot b \] Где \( |a|^2 = 2^2 = 4 \). Теперь найдем \( a \cdot b \): \[ a \cdot b = |a| |b| \cos(60^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \] Таким образом: \[ a \cdot (2a - b) = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5 \]

2. Второе произведение: \[ 2b \cdot (2a - b) = 2b \cdot 2a - 2b \cdot b = 4b \cdot a - 2|b|^2 \] Где \( |b|^2 = 3^2 = 9 \). Таким образом: \[ 2b \cdot (2a - b) = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 9 = 12 - 18 = -6 \]

3. Третье произведение: Вектор \( c \) перпендикулярен \( a \) и \( b \), следовательно: \[ c \cdot a = 0, \quad c \cdot b = 0 \implies c \cdot (2a - b) = 0 \]

Шаг 3: Соберем всё вместе

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

\[ m \cdot n = 5 - 6 - 0 = -1 \]

Ответ:

Скалярное произведение векторов \( m \) и \( n \) равно \( -1 \).