В целях изучения производительности четырех типов станков, производящих одинаковые операции, была произведена 10%-ная типическая выборка (внутри групп применялся метод случайного…

Чтобы определить предел, в котором находится среднее число деталей, производимых на одном станке за 1 час работы, воспользуемся доверительным интервалом для среднего значения. Для этого нам нужно вычислить среднее значение и стандартную ошибку, а затем применить подходящие значения из таблицы стандартного нормального распределения.

Шаг 1: Вычисление среднего значения

Сначала найдем среднее значение выработки для всех типов станков. Мы используем формулу для вычисления среднего арифметического:

\[ \bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n} \]

Где \( X_i \) — выработка каждого типа станка, а \( n \) — общее число типов станков.

Выработка каждого типа станка:

• Тип 1: 400 дет./ч (15 станков)
• Тип 2: 520 дет./ч (30 станков)
• Тип 3: 700 дет./ч (45 станков)
• Тип 4: 610 дет./ч (10 станков)

Общее количество станков: \( 15 + 30 + 45 + 10 = 100 \) станков.

Теперь найдем среднюю выработку по всем типам:

\[ \bar{X} = \frac{(400 \cdot 15) + (520 \cdot 30) + (700 \cdot 45) + (610 \cdot 10)}{100} \]

Подсчитаем каждое выражение:

• \( 400 \cdot 15 = 6000 \)
• \( 520 \cdot 30 = 15600 \)
• \( 700 \cdot 45 = 31500 \)
• \( 610 \cdot 10 = 6100 \)

Сумма всех произведений:

\[ 6000 + 15600 + 31500 + 6100 = 49100 \]

Теперь поделим на общее количество станков:

\[ \bar{X} = \frac{49100}{100} = 491 \]

Шаг 2: Вычисление стандартного отклонения выборки

Теперь найдем среднее квадратическое отклонение для всех типов станков. Вычислим взвешенное (учитывающее количество станков) стандартное отклонение.

Используем формулу:

\[ S = \sqrt{\frac{\sum{n_i \cdot (X_i - \bar{X})^2}}{N - 1}} \]

Где \( S \) — стандартное отклонение, \( n_i \) — количество станков определенного типа, \( X_i \) — выработка каждого типа, \( \bar{X} \) — среднее значение, \( N \) — общее количество станков.

Для каждого типа:

1. Тип 1: \((400 - 491)^2 = (-91)^2 = 8281\), \( n_1 = 15 \)
2. Тип 2: \((520 - 491)^2 = (29)^2 = 841\), \( n_2 = 30 \)
3. Тип 3: \((700 - 491)^2 = (209)^2 = 43681\), \( n_3 = 45 \)
4. Тип 4: \((610 - 491)^2 = (119)^2 = 14161\), \( n_4 = 10 \)

Теперь считаем суммы:

\[ n_1 \cdot (X_1 - \bar{X})^2 = 15 \cdot 8281 = 124215 \] \[ n_2 \cdot (X_2 - \bar{X})^2 = 30 \cdot 841 = 25230 \] \[ n_3 \cdot (X_3 - \bar{X})^2 = 45 \cdot 43681 = 1965645 \] \[ n_4 \cdot (X_4 - \bar{X})^2 = 10 \cdot 14161 = 141610 \]

Суммируем результаты:

\[ 124215 + 25230 + 1965645 + 141610 = 2060700 \]

Теперь подставляем в формулу для стандартного отклонения:

\[ S = \sqrt{\frac{2060700}{100 - 1}} = \sqrt{\frac{2060700}{99}} \approx 143.3 \]

Шаг 3: Доверительный интервал

Доверительный интервал можно найти с помощью распределения Стьюдента, учитывая, что у нас 99 степеней свободы (100 - 1). Для доверительного уровня 0.997 (99.7%) используем таблицу распределения, где критическое значение \( t \) около 2.58 (приблизительно для большого числа степеней свободы).

Стандартная ошибка среднего:

\[ SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{143.3}{\sqrt{100}} = 14.33. \]

Теперь вычисляем границы доверительного интервала:

\[ \text{Нижняя граница} = \bar{X} - (t \cdot SE) = 491 - (2.58 \cdot 14.33) \approx 491 - 37.0 \approx 454.0 \] \[ \text{Верхняя граница} = \bar{X} + (t \cdot SE) = 491 + (2.58 \cdot 14.33) \approx 491 + 37.0 \approx 528.0 \]

Ответ

Таким образом, с вероятностью 0.997 среднее число деталей, производимых на одном станке за 1 час работы для всей совокупности станков, находится в пределах приблизительно \( [454, 528] \).