3. Человек вращает камень, привязанный к шнуру длиной 50 см, в вертикальной плоскости, делая 5 об/с. На какую высоту (в метрах) взлетит камень, если шнур оборвется в тот момент, когда скорость камня направлена вертикально вверх? Ускорение свободного падения принять 9,8 м/с². Ответ округлите до десятых.
Чтобы решить задачу, начнем с анализа условия. У нас есть камень, который вращается на шнуру длиной 50 см (0,5 м) с частотой 5 об/с. Мы знаем, что шнур оборвется в момент, когда скорость камня направлена вертикально вверх.
Сначала найдем линейную скорость камня на конце шнура. Линейная скорость (v) связана с частотой (f) и радиусом (r) следующим образом:
\[ v = 2 \pi r f \]
Подставим известные значения:
- \( r = 0,5 \text{ м} \)
- \( f = 5 \text{ об/с} \)
Теперь вычислим скорость:
\[ v = 2 \pi \cdot 0,5 \cdot 5 = 5 \pi \text{ м/с} \]
Теперь давайте найдем максимальную высоту, на которую поднимется камень после разрыва шнура. Когда шнур оборвется, камень будет иметь только вертикальную скорость \( v_{0} = 5 \pi \text{ м/с} \) направленную вверх.
Мы можем использовать уравнение движения для нахождения высоты \( h \), на которую поднимется камень, применяя закон сохранения энергии или уравнение движения с постоянным ускорением:
\[ v^2 = v_{0}^2 - 2 g h \]
Здесь:
- \( v = 0 \text{ м/с} \) (в высшей точке камень остановится на мгновение),
- \( g = 9,8 \text{ м/с}^2 \) (ускорение свободного падения),
- \( v_{0} = 5 \pi \text{ м/с} \).
Подставим значения в уравнение:
\[ 0 = (5 \pi)^2 - 2 \cdot 9,8 \cdot h \]
Решим для \( h \):
\[ (5 \pi)^2 = 2 \cdot 9,8 \cdot h \]
\[ h = \frac{(5 \pi)^2}{2 \cdot 9,8} \]
Вычислим \( (5 \pi)^2 \):
\[ (5 \pi)^2 = 25 \pi^2 \approx 25 \cdot 9,87 \approx 246,75 \]
Теперь подставим в формулу для \( h \):
\[ h \approx \frac{246,75}{19,6} \approx 12,59 \text{ м} \]
Теперь округлим до десятых:
\[ h \approx 12,6 \text{ м} \]
Таким образом, камень взлетит на высоту приблизительно 12,6 метра.
