Произведение одночлена и многочлена

Произведение одночлена и многочлена — это процесс, при котором одночлен умножается на каждый член многочлена.

Рассмотрим одночлен вида \( a \cdot x^n \) и многочлен вида \( b_0 + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x^2 + ... + b_k \cdot x^k \).

Чтобы найти произведение, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и затем сложить полученные результаты:

\[ a \cdot x^n \cdot (b_0 + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x^2 + ... + b_k \cdot x^k) = a \cdot x^n \cdot b_0 + a \cdot x^n \cdot b_1 \cdot x + a \cdot x^n \cdot b_2 \cdot x^2 + ... + a \cdot x^n \cdot b_k \cdot x^k \]

После умножения, степени переменной \( x \) складываются:

\[ = a \cdot b_0 \cdot x^n + a \cdot b_1 \cdot x^{n+1} + a \cdot b_2 \cdot x^{n+2} + ... + a \cdot b_k \cdot x^{n+k} \]

Таким образом, в результате произведения одночлена и многочлена получается новый многочлен, степени членов которого зависят от степени исходного одночлена и членов многочлена.

Пример:

Рассмотрим одночлен \( 2x^3 \) и многочлен \( 3 + 4x + 5x^2 \):

\[ 2x^3 \cdot (3 + 4x + 5x^2) = 2x^3 \cdot 3 + 2x^3 \cdot 4x + 2x^3 \cdot 5x^2 \]

\[ = 6x^3 + 8x^4 + 10x^5 \]

Итак, в результате мы получаем многочлен \( 10x^5 + 8x^4 + 6x^3 \).