Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих
Чтобы определить, являются ли события независимыми, а также найти вероятность их объединения, сначала обозначим события:
- Событие A: «в первый раз выпал орёл»
- Событие B: «решка выпала дважды»
a) Для того чтобы понять, независимы ли события A и B, нам нужно проверить, выполняется ли условие:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
- Найдем вероятности P(A) и P(B).
Событие A (в первый раз выпал орёл) происходит в 1 из 2 случаев, если мы рассматриваем только первый бросок. Вероятность P(A) = 1/2.
- Теперь найдем вероятность события B (решка выпала дважды) в трех бросках.
Событие B означает, что из трех бросков два раза выпала решка и один раз – орёл.
Для подсчета вероятности события B можно использовать биномиальную формулу:
P(B) = (C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^1)
Где C(3, 2) – это количество сочетаний, равное 3 (Мы можем получить два "R" и один "E" в 3 бросках тремя способами: RRE, RER, ERR):
C(3, 2) = 3,
Таким образом:
P(B) = 3 * (1/2)^2 * (1/2)^1 = 3 * (1/8) = 3/8.
- Теперь находим вероятность P(A ∩ B), условия, при котором "первый бросок – орёл", а "решка выпала дважды" в остальных двух бросках.
Если первый бросок – орёл, то вторые два броска должны дать две решки:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(A) * (1/2)^2 = (1/2) * (1/4) = 1/8.
Теперь проверим условие независимости:
P(A ∩ B) = 1/8 и P(A) * P(B) = (1/2) * (3/8) = 3/16.
Поскольку 1/8 ≠ 3/16, то события A и B не являются независимыми.
б) Теперь найдем вероятность объединения этих событий P(A ∪ B).
Для этого воспользуемся формулой:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Из ранее рассчитанных значений:
P(A) = 1/2, P(B) = 3/8, P(A ∩ B) = 1/8.
Теперь подставим значения в формулу:
P(A ∪ B) = (1/2) + (3/8) - (1/8).
Сначала приведем всё к общему знаменателю:
1/2 = 4/8, P(A ∪ B) = (4/8) + (3/8) - (1/8) = (4 + 3 - 1) / 8 = 6/8 = 3/4.
Итак, вероятности объединения событий:
Вероятность P(A ∪ B) = 3/4.
