Найти последнюю цифру числа : 2^2015; 111^2015; 9^2015

Чтобы найти последнюю цифру числа, возводимого в степень, можно использовать свойства модульной арифметики. Рассмотрим каждое число по отдельности.

1. Для \(2^{2015}\): Последние цифры степеней двойки повторяются по циклу:

   • \(2^1 = 2\)
   • \(2^2 = 4\)
   • \(2^3 = 8\)
   • \(2^4 = 16\) (последняя цифра 6)
   • \(2^5 = 32\) (последняя цифра 2)

   Этот цикл: 2, 4, 8, 6 имеет длину 4. Чтобы найти последнюю цифру \(2^{2015}\), нужно определить, какой элемент цикла соответствует степени \(2015\): \[ 2015 \mod 4 = 3 \] Таким образом, последняя цифра \(2^{2015}\) – это третья цифра в цикле, равная 8.

2. Для \(111^{2015}\): Последняя цифра числа 111 такая же, как у числа 1 (так как 111 заканчивается на 1). Соответственно, последняя цифра \(111^{2015} = 1^{2015} = 1\).

3. Для \(9^{2015}\): Последние цифры степеней девятки также повторяются по циклу:

   • \(9^1 = 9\)
   • \(9^2 = 81\) (последняя цифра 1)
   • \(9^3 = 729\) (последняя цифра 9)
   • \(9^4 = 6561\) (последняя цифра 1)

   Этот цикл: 9, 1 имеет длину 2. Чтобы найти последнюю цифру \(9^{2015}\): \[ 2015 \mod 2 = 1 \] Таким образом, последняя цифра \(9^{2015}\) – это первая цифра в цикле, равная 9.

В итоге, последние цифры данных чисел таковы:

• Последняя цифра \(2^{2015}\) – 8
• Последняя цифра \(111^{2015}\) – 1
• Последняя цифра \(9^{2015}\) – 9