задано уравнение sin(2x-π/6)=0 а) решите данное уравнение б) найдите все корни данного уравнения, которые принадлежат промежутку [0; 3π/2]
Чтобы решить уравнение \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 0\), начнем с того, что синус равен нулю при определенных значениях аргумента. А именно:
\[ 2x - \frac{\pi}{6} = n\pi \]
где \(n\) — целое число. Теперь из этого уравнения выразим \(x\):
\[ 2x = n\pi + \frac{\pi}{6} \] \[ x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{12} \]
Теперь найдем все корни \(x\), которые находятся в промежутке \([0; \frac{3\pi}{2}]\).
Для нахождения границ, подставим разные целые значения для \(n\):
Для \(n = 0\): \[ x = \frac{0 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \]
Для \(n = 1\): \[ x = \frac{1 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \]
Для \(n = 2\): \[ x = \frac{2 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \]
Для \(n = 3\): \[ x = \frac{3 \cdot \pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \] Это значение больше \(\frac{3\pi}{2}\) (или \(\frac{18\pi}{12}\)), поэтому дальше искать не будем.
Теперь соберем все корни, которые находятся в промежутке \([0; \frac{3\pi}{2}]\):
- \(x_1 = \frac{\pi}{12}\)
- \(x_2 = \frac{7\pi}{12}\)
- \(x_3 = \frac{13\pi}{12}\)
Таким образом, все корни уравнения \(\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 0\), принадлежащие промежутку \([0; \frac{3\pi}{2}]\), это:
\[ x_1 = \frac{\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{13\pi}{12} \]
