упростите выражения sin^2 альфа cos^2 альфа + sin^4 альфа sin^2 альфа + sin^2 альфа ctg^2 альфа
Давайте упростим каждое из выражений поочередно.
- Упрощение выражения sin²(альфа) cos²(альфа) + sin⁴(альфа):
Мы можем использовать тождество \( \sin^2(α) = 1 - \cos^2(α) \) и свойства тригонометрических функций. Начнем с того, что мы можем выделить общий множитель \( \sin^2(α) \):
\[ sin^2(α) cos^2(α) + sin^4(α) = sin^2(α) (cos^2(α) + sin^2(α)) \]
Согласно основному тригонометрическому тождеству, \( cos^2(α) + sin^2(α) = 1 \). Значит, мы можем подставить:
\[ sin^2(α) (cos^2(α) + sin^2(α)) = sin^2(α) \cdot 1 = sin^2(α) \]
Таким образом, первое выражение упрощается до:
\[ \boxed{sin^2(α)} \]
- Упрощение выражения sin²(альфа) + sin²(альфа) ctg²(альфа):
Здесь можем выделить общий множитель \( sin^2(α) \):
\[ sin^2(α) + sin^2(α) ctg^2(α) = sin^2(α)(1 + ctg^2(α)) \]
Затем помнить, что \( ctg²(α) = \frac{cos^2(α)}{sin^2(α)} \), следовательно, можем использовать тождество:
Согласно тождеству \( 1 + ctg^2(α) = \frac{1}{sin^2(α)} \):
\[ 1 + ctg^2(α) = \frac{sin^2(α) + cos^2(α)}{sin^2(α)} = \frac{1}{sin^2(α)} \]
Тогда подставляем это обратно в выражение:
\[ sin^2(α)(1 + ctg^2(α)) = sin^2(α) \cdot \frac{1}{sin^2(α)} = 1 \]
Таким образом, второе выражение упрощается до:
\[ \boxed{1} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
