Заказ на 81 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа дольше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на 3 детали больше, чем первый?
Для решения задачи давайте обозначим количество деталей, которое делает первый рабочий за час, как \( x \). Тогда второй рабочий будет делать \( x + 3 \) деталей за час, так как он на 3 детали быстрее.
Пусть время, которое первый рабочий тратит на выполнение заказа, составляет \( t \) часов. Тогда время, которое тратит второй рабочий, будет \( t - 3 \) часов, поскольку он работает на 3 часа быстрее.
Мы знаем, что общий заказ составляет 81 деталь. Это можно записать двумя уравнениями:
Для первого рабочего: \[ x \cdot t = 81 \]
Для второго рабочего: \[ (x + 3) \cdot (t - 3) = 81 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для времени \( t \) из первого уравнения во второе. Из первого уравнения выразим \( t \): \[ t = \frac{81}{x} \]
Подставим \( t \) во второе уравнение: \[ (x + 3) \cdot \left(\frac{81}{x} - 3\right) = 81 \]
Упрощаем уравнение: \[ (x + 3) \cdot \left(\frac{81 - 3x}{x}\right) = 81 \]
Умножим обе части уравнения на \( x \): \[ (x + 3)(81 - 3x) = 81x \]
Раскроем скобки: \[ 81x - 3x^2 + 243 - 9x = 81x \]
Сократим \( 81x \): \[ -3x^2 + 243 - 9x = 0 \]
Упростим: \[ 3x^2 + 9x - 243 = 0 \]
Теперь разделим на 3: \[ x^2 + 3x - 81 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 9 + 324 = 333 \]
Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{333}}{2} \]
Теперь вычислим значение \( \sqrt{333} \) (приблизительно): \[ \sqrt{333} \approx 18.25 \]
Подставим значение: \[ x \approx \frac{-3 \pm 18.25}{2} \]
Находим два корня:
- \( x_1 \approx \frac{15.25}{2} \approx 7.625 \) (положительный корень)
- \( x_2 \approx \frac{-21.25}{2} \) (отрицательный, не рассматриваем)
Таким образом, первый рабочий делает примерно 7.625 деталей в час.
Если округлить, можно сказать, что первый рабочий делает 8 деталей в час.
