Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна Р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 1 узел ?
Для решения этой задачи используем бинарное распределение (распределение Бернулли) и формулу для вероятности определенного числа успехов в n независимых испытаниях.
Обозначим:
- \( n = 10 \) - общее количество узлов,
- \( p = 0.8 \) - вероятность безотказной работы узла,
- \( q = 1 - p = 0.2 \) - вероятность выхода узла из строя.
Мы ищем вероятность того, что точно 1 узел выйдет из строя. Это можно сделать с помощью формулы биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]
где \( C(n, k) \) - это биномиальный коэффициент (число способов выбрать k неудач из n), а \( P(X = k) \) - вероятность того, что точно k узлов вышли из строя.
В нашем случае:
- \( k = 1 \),
- \( n = 10 \),
- \( p = 0.8 \) (безотказная работа),
- \( q = 0.2 \) (отказ).
Теперь вычислим каждый компонент:
- Биномиальный коэффициент \( C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10 \).
- Вероятность безотказной работы для 9 узлов \( p^{10-1} = 0.8^9 \).
- Вероятность отказа 1 узла \( q^1 = 0.2^1 \).
Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot p^{9} \cdot q^{1} = 10 \cdot (0.8)^9 \cdot (0.2)^1 \]
Посчитаем:
\[ (0.8)^9 \approx 0.134217728 \quad (\text{приблизительно}), \] \[ 0.2^1 = 0.2. \]
Теперь подставим:
\[ P(X = 1) \approx 10 \cdot 0.134217728 \cdot 0.2 \approx 10 \cdot 0.0268435456 \approx 0.268435456. \]
Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажет 1 узел, приблизительно равна 0.268.
