Вычислите: ( 256 81 ) 3 4 − 81 − 3 4

Чтобы вычислить выражение \(\left(\frac{256}{81}\right)^{\frac{3}{4}} - 81^{-\frac{3}{4}}\), давайте разберем его по шагам.

1. Начнем с первого слагаемого: \(\left(\frac{256}{81}\right)^{\frac{3}{4}}\).

   • Находим корень четвертой степени из 256 и 81:
     • \(256 = 4^4\), следовательно, \(\sqrt[4]{256} = 4\).
     • \(81 = 3^4\), следовательно, \(\sqrt[4]{81} = 3\).
   • Теперь подставим эти значения: \[ \left(\frac{256}{81}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{4^4}{3^4}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{4 \cdot \frac{3}{4}} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 \]
   • Теперь вычислим \(\left(\frac{4}{3}\right)^3\): \[ \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27} \]

2. Теперь вычислим второе слагаемое: \(81^{-\frac{3}{4}}\).

   • Мы уже знаем, что \(81 = 3^4\), следовательно: \[ 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \]

3. Теперь соберем всё вместе: \[ \frac{64}{27} - \frac{1}{27} = \frac{64 - 1}{27} = \frac{63}{27} \]

4. Упростим дробь \(\frac{63}{27}\):

   • \(63\) и \(27\) делятся на \(9\): \[ \frac{63 \div 9}{27 \div 9} = \frac{7}{3} \]

Таким образом, ответом будет: \[ \frac{7}{3} \]