реши задачу
Привет! Давай решим эту задачу вместе.
Нам дана система уравнений:
- \( x^2 + (y - 7)^2 = 49 \)
- \( y = 3x - 5 \)
Первое уравнение — уравнение окружности с центром в точке (0, 7) и радиусом 7.
Второе уравнение — это прямая.
Чтобы определить количество решений, найдем точки пересечения прямой и окружности.
Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения во второе:
\( x^2 + ((3x - 5) - 7)^2 = 49 \)
Это упростится до:
\( x^2 + (3x - 12)^2 = 49 \)
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\( x^2 + 9x^2 - 72x + 144 = 49 \)
Получим квадратное уравнение:
\( 10x^2 - 72x + 95 = 0 \)
Для определения количества решений этого уравнения найдем дискриминант:
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 10 \), \( b = -72 \), \( c = 95 \).
\( D = (-72)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 95 = 5184 - 3800 \)
\( D = 1384 \)
Поскольку дискриминант больше нуля, у этого квадратного уравнения два различных корня.
Значит, система уравнений имеет два решения.
