На рисунке изображён прямоугольник 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ABCD. Точки 𝐾 K, 𝐿 L, 𝑀 M, 𝑁 N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику 𝐿 𝑀 𝑁 LMN.
Чтобы решить задачу о нахождении вероятности того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, начнем с визуализации и определения ключевых элементов.
Обозначим координаты точек:
- Пусть A(0, 0) и D(0, h) — это две противоположные вершины прямоугольника, где h — высота.
- Пусть B(w, 0) и C(w, h) — другие две вершины, где w — ширина прямоугольника.
Координаты середины сторон:
- Точка K — середина AD: K(0, h/2)
- Точка L — середина AB: L(w/2, 0)
- Точка M — середина BC: M(w, h/2)
- Точка N — середина CD: N(w/2, h)
Площадь треугольника LMN: Для нахождения площади треугольника, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты точек L, M и N:
- L(w/2, 0)
- M(w, h/2)
- N(w/2, h)
Подставив координаты, получим: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| \frac{w}{2}( \frac{h}{2} - h) + w(\frac{h}{2} - 0) + \frac{w}{2}(0 - \frac{h}{2}) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| \frac{w}{2} \left(-\frac{h}{2}\right) + w \cdot \frac{h}{2} - \frac{w h}{4} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{wh}{4} + \frac{wh}{2} - \frac{wh}{4} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{wh}{2} \right| = \frac{wh}{4} \]
Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = w \cdot h \]
Вероятность принадлежности точек треугольнику LMN: Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит треугольнику LMN, будет равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P(LMN) = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{wh}{4}}{wh} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, искомая вероятность составляет \( \frac{1}{4} \) или 25%. Если появятся вопросы по другим аспектам, не стесняйтесь задавать!
