Задание 1

Привет! Давай разберёмся с заданием.

1. Функция задана формулой \( f(x) = x^{18} \).

Нужно сравнить значения:

1. \( f(3.6) \) и \( f(1.8) \):

   • Очевидно, что большее число в базе даст большее значение функции, так как степени одинаковы. Значит, \( f(3.6) > f(1.8) \).

2. \( f(-0.7) \) и \( f(0.9) \):

   • Отрицательное число в чётной степени становится положительным, но при этом \( 0.9 > 0.7 \). Поэтому, \( f(0.9) > f(-0.7) \).

3. \( f(-3.6) \) и \( f(-0.9) \):

   • Также, сравниваем модули, потому что отрицательные значения в четной степени становятся положительными. \( |3.6| > |0.9| \), значит \( f(-3.6) > f(-0.9) \).

4. \( f(1) \) и \( f(0.2) \):

   • \( 1^{18} = 1 \) и \( 0.2^{18} \) очень маленькое число. Следовательно, \( f(1) > f(0.2) \).

2. Найдите значение выражения:

\[ \sqrt[3]{81} - 216 : \sqrt[6]{64} \] \[ = \sqrt[3]{81} - 216 : 2 \] \[ = 9 - 108 = -99 \]

3. Решите уравнение:

\[ x^2 = 10 \]

Ответ: \( x = \pm \sqrt{10} \).

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x \) на отрезке \([-3; 3]\).

• Производная функции: \( y' = 3x^2 - 3 \).
• Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Теперь проверяем значения \( y \) в критических точках и на концах отрезка:

• \( y(-3) = -27 + 9 = -18 \)
• \( y(-1) = 1 + 3 = 4 \)
• \( y(1) = 1 - 3 = -2 \)
• \( y(3) = 27 - 9 = 18 \)

Наибольшее значение: 18 при \( x = 3 \).

Наименьшее значение: -18 при \( x = -3 \).

5. Упростите выражение:

\[ \left( \frac{x^8}{x^4} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{x^2}{x} \right)^3 \]

\[ = x^2 \cdot x^3 = x^5 \]

6. Определите графически количество решений системы уравнений:

\[ y = x^2 \] \[ y = \sqrt{x} \]

Эти графики пересекаются в точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \), так что 2 решения.

7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

\[ \frac{5}{\sqrt{x + 2} + 2} \]

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое:

\[ \frac{5}{\sqrt{x + 2} + 2} \times \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 2} - 2} = \frac{5 (\sqrt{x + 2} - 2)}{x + 2 - 4} \]

Получаем:

\[ \frac{5 (\sqrt{x + 2} - 2)}{x - 2} \]

8. Упростите выражение:

\[ \sqrt{6} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8} - 2} \]

Для упрощения дроби умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое:

\[ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8} - 2} \times \frac{\sqrt{8} + 2}{\sqrt{8} + 2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{8} + 2)}{4} \]

Преобразование даёт:

\[ \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{3} \]

Если остались вопросы или нужна дополнительная помощь, пиши!