x² + y² <= 16; x - y = 4 реши неравенство
Чтобы решить систему неравенства и уравнения, начнем с анализа каждого компонента.
Неравенство: \(x^2 + y^2 \leq 16\) описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 4, поскольку \( \sqrt{16} = 4\). Все точки (x, y), которые удовлетворяют этому неравенству, находятся внутри или на границе этого круга.
Уравнение: \(x - y = 4\) можно переписать в виде \(y = x - 4\). Это является уравнением прямой, которая пересекает ось y в точке (0, -4) и имеет наклон 1.
Теперь мы можем найти точки пересечения этой прямой с окружностью. Для этого подставим выражение для \(y\) из уравнения в неравенство:
\[ x^2 + (x - 4)^2 \leq 16 \]
Распишем левую часть:
\[ x^2 + (x^2 - 8x + 16) \leq 16 \] \[ 2x^2 - 8x + 16 \leq 16 \]
Выразим это уравнение:
\[ 2x^2 - 8x \leq 0 \]
Теперь разделим обе стороны на 2:
\[ x^2 - 4x \leq 0 \]
Это можно разложить на множители:
\[ x(x - 4) \leq 0 \]
Теперь найдем корни уравнения \(x(x - 4) = 0\): это \(x = 0\) и \(x = 4\).
Рассмотрим интервалы:
- \(x < 0\)
- \(0 \leq x \leq 4\)
- \(x > 4\)
Для определения знака выражения \(x(x - 4)\):
- При \(x < 0\): произведение положительное.
- При \(0 \leq x \leq 4\): произведение отрицательное или равно нулю.
- При \(x > 4\): произведение положительное.
Таким образом, неравенство выполняется на промежутке \(0 \leq x \leq 4\).
Теперь найдем соответствующие значения для \(y\):
Если \(x = 0\): \[ y = 0 - 4 = -4 \]
Если \(x = 4\): \[ y = 4 - 4 = 0 \]
Таким образом, конечные точки, которые соответствуют решению системы, это (0, -4) и (4, 0).
Итак, решение системы неравенства и уравнения выглядит следующим образом: прямой \(y = x - 4\) от точки (0, -4) до точки (4, 0) находится внутри или на границе круга \(x^2 + y^2 \leq 16\).
