найдите корни биквадратного уравнения; х^4-29х^2-30=0
Для решения биквадратного уравнения \(x^4 - 29x^2 - 30 = 0\) удобно воспользоваться заменой переменной.
Давайте введем замену \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:
\[y^2 - 29y - 30 = 0.\]
Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\). Чтобы найти его корни, воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]
где \(a = 1\), \(b = -29\), \(c = -30\).
Подставим соответствующие значения:
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 841 + 120 = 961. \]
- Находим корни уравнения:
\[ y = \frac{29 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{29 \pm 31}{2}. \]
Теперь найдем два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{29 + 31}{2} = \frac{60}{2} = 30,\)
- \(y_2 = \frac{29 - 31}{2} = \frac{-2}{2} = -1.\)
Теперь возвращаемся к переменной \(x\). Напомним, что \(y = x^2\), поэтому:
- Для \(y_1 = 30\):
\[ x^2 = 30 \implies x = \sqrt{30} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{30}. \]
- Для \(y_2 = -1\):
Поскольку \(x^2\) не может быть отрицательным, отбрасываем это решение.
Таким образом, финальные корни биквадратного уравнения:
\[ x_1 = \sqrt{30}, \quad x_2 = -\sqrt{30}. \]
Это и есть искомые корни.
