1. Учащимся необходимо раздать тетради. Если каждому учаще- муся давать по 4 тетради, то останется 12 тетрадей, а если раздавать по 5, то тетрадей не хватит 7 учащимся. Сколько было тетрадей? 2. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел паро- ход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки? 3. Ширину прямоугольника увеличили на 3 см и получили квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 24 см². Найдите периметр прямоугольника. 4. Найдите три последовательных натуральных числа, если про- изведение двух меньших чисел меньше произведения двух больших на 38.

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

Задача 1:

У нас есть два условия, и давайте обозначим количество учащихся за \( x \), а общее количество тетрадей за \( y \).

1. Если каждому учащемуся дать по 4 тетради, то останется 12 тетрадей: \[ y - 4x = 12 \] (1)

2. Если раздавать по 5 тетрадей, то не хватает 7 тетрадей для 7 учащихся: \[ y - 5x = -7 \] (2)

Теперь решим систему уравнений. Из уравнения (1) выразим \( y \): \[ y = 4x + 12 \]

Подставим это выражение в уравнение (2): \[ 4x + 12 - 5x = -7 \] \[ -x + 12 = -7 \] \[ -x = -19 \] \[ x = 19 \]

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение для нахождения \( y \): \[ y = 4(19) + 12 = 76 + 12 = 88 \]

Итак, общее количество тетрадей равно 88.

Задача 2:

Обозначим расстояние от пристани до города как \( S \). Лодка движется со скоростью 12 км/ч, значит, время на путь \( t_1 = \frac{S}{12} \). Пароход выходит через полчаса, значит, его время в пути \( t_2 = \frac{S}{20} \).

По условию, пароход приходит на 1,5 часа раньше лодки: \[ t_1 - t_2 = 1.5 \] Замещаем выражения для времени: \[ \frac{S}{12} - \frac{S}{20} = 1.5 \]

Приведем дроби к общему знаменателю (60): \[ \frac{5S}{60} - \frac{3S}{60} = 1.5 \] \[ \frac{2S}{60} = 1.5 \] \[ \frac{S}{30} = 1.5 \] \[ S = 1.5 \times 30 = 45 \]

Расстояние от пристани до города составляет 45 км.

Задача 3:

Обозначим ширину прямоугольника как \( w \), а длину как \( l \).

Согласно условию, ширина увеличивается на 3 см, при этом образуется квадрат: \[ (w + 3)^2 = wl + 24 \]

Раскроем квадрат: \[ w^2 + 6w + 9 = wl + 24 \] \[ w^2 + 6w + 9 - wl - 24 = 0 \] \[ w^2 + (6 - l)w - 15 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( w \). Решим его по формуле дискриминанта: \[ D = (6 - l)^2 + 4 \cdot 15 = (6 - l)^2 + 60 \]

Для удобства можно учесть, что площадь квадратного выражения должна быть положительной. Найдём корни уравнения: \[ w = \frac{l - 6 \pm \sqrt{D}}{2} \]

Чтобы подобрать конкретные значения \( w \) и \( l \), нужно дополнительно решить это уравнение, однако этот подход требует конкретизации, так как на данном этапе не хватает информации.

Тем не менее, чтобы найти периметр, используем формулу: \[ P = 2l + 2w \] И далее, учитывая значение предельной ширины и длины, можно подставить.

Задача 4:

Обозначим три последовательных натуральных числа как \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \).

По условию: \[ n(n + 1) = (n + 1)(n + 2) - 38 \]

Раскроем скобки и упростим: \[ n^2 + n = n^2 + 3n + 2 - 38 \] \[ n^2 + n = n^2 + 3n - 36 \] \[ n + 36 = 2n \] \[ 36 = n \]

Таким образом, три последовательных числа: \( 36 \), \( 37 \), \( 38 \).

Ответ: последовательные натуральные числа - 36, 37 и 38.

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!