x² + 4x + 32≥0

Чтобы решить неравенство \(x^2 + 4x + 32 \geq 0\), давайте сначала рассмотрим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 + 4x + 32 = 0. \]

Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные корни. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \(a = 1\), \(b = 4\), и \(c = 32\).

Подставляем значения:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 - 128 = -112. \]

Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, парабола, представляющая функцию \(x^2 + 4x + 32\), не пересекает ось абсцисс.

Теперь давайте рассмотрим, как ведет себя парабола. Коэффициент перед \(x^2\) равен 1, что положительно, значит, парабола открыта вверх. Это подразумевает, что значение функции всегда больше нуля.

Следовательно, неравенство \(x^2 + 4x + 32 \geq 0\) выполняется для всех \(x\) из множества действительных чисел:

\[ x \in \mathbb{R}. \]

Итак, ответ на ваше неравенство: \(x^2 + 4x + 32 \geq 0\) верно для всех действительных \(x\).