решить уравнение теоремой Виета 3х²-5х+2=0

Чтобы решить уравнение \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) с помощью теоремы Виета, давайте сначала определим коэффициенты уравнения:

• \(a = 3\)
• \(b = -5\)
• \(c = 2\)

Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).

Теперь вычислим сумму и произведение корней:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3} \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \]

Теперь мы знаем, что корни \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют двум условиям: \[ x_1 + x_2 = \frac{5}{3} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \]

Следующим шагом будет получение корней. Обозначим \(x_1\) и \(x_2\) как корни: пусть \(x_1 = p\) и \(x_2 = q\). Мы можем записать два уравнения, используя информацию из теоремы Виета.

Теперь, зная сумму и произведение корней, можно составить квадратное уравнение на основе корней: \[ t^2 - (x_1 + x_2)t + (x_1 \cdot x_2) = 0 \]

Подставляя значения, получаем: \[ t^2 - \frac{5}{3}t + \frac{2}{3} = 0 \]

Для удобства перемножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 3t^2 - 5t + 2 = 0 \]

Теперь мы обратимся к форме решения квадратного уравнения. Мы можем решить его с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6} \]

Теперь найдем корни:

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, корни уравнения \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) равны: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{2}{3} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!