Давайте разберёмся с задачей пошагово.
Обозначим двузначное число как ( \overline{ab} ), где ( a ) — это десятки, а ( b ) — это единицы. Тогда это число можно записать как ( 10a + b ).
По условию задачи, сумма квадратов цифр равна 13:
[
a^2 + b^2 = 13.
]
Также, если от этого числа отнять 9, то мы получаем число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Это можно записать как:
[
10a + b - 9 = 10b + a.
]
Упрощая это уравнение, получаем:
[
10a + b - 9 = 10b + a \implies 9a - 9b = 9 \implies a - b = 1.
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a^2 + b^2 = 13 )
- ( a - b = 1 )
Подставим ( a = b + 1 ) из второго уравнения в первое:
[
(b + 1)^2 + b^2 = 13.
]
Раскроем скобки:
[
b^2 + 2b + 1 + b^2 = 13 \implies 2b^2 + 2b + 1 = 13 \implies 2b^2 + 2b - 12 = 0.
]
Разделим всё на 2:
[
b^2 + b - 6 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение:
[
(b - 2)(b + 3) = 0.
]
Следовательно, ( b = 2 ) или ( b = -3 ). Так как ( b ) — это цифра числа, она не может быть отрицательной, значит ( b = 2 ).
Теперь подставим ( b ) обратно, чтобы найти ( a ):
[
a = b + 1 = 2 + 1 = 3.
]
Таким образом, цифры числа: ( a = 3 ) и ( b = 2 ). Следовательно, искомое двузначное число:
[
\overline{ab} = 32.
]
Для проверки:
- Сумма квадратов цифр: ( 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 ) (всё правильно).
- Если отнять 9 от 32, получится 23, что действительно является числом, записанным в обратном порядке.
Ответ: искомое число — 32.
