Решить систему, уравнения x²+y²=9 и xy=-3 решить понятно, просто
Чтобы решить систему уравнений
- \( x^2 + y^2 = 9 \)
- \( xy = -3 \),
начнем с первого уравнения, которое представляет собой уравнение окружности радиуса 3, а второе уравнение указывает на произведение двух переменных.
Сначала выразим \( y \) через \( x \) из второго уравнения:
\[ y = \frac{-3}{x}. \]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{-3}{x}\right)^2 = 9. \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 + \frac{9}{x^2} = 9. \]
Теперь умножим всё уравнение на \( x^2 \) (при этом \( x \neq 0 \)):
\[ x^4 - 9x^2 + 9 = 0. \]
Обозначим \( z = x^2 \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ z^2 - 9z + 9 = 0. \]
Теперь можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:
\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных решения:
\[ z_1, z_2 = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}. \]
Теперь вычислим корни для \( z_1 \) и \( z_2 \):
- \( z_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}, \quad z_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}. \)
Не забываем, что \( z = x^2 \), следовательно, \( x = \pm \sqrt{z} \).
Теперь найдем значения \( x \) и затем соответствующие им \( y \):
- Для \( z_1 \):
\( x_1 = \sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}, \quad x_2 = -\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}. \)
Выразим \( y \):
\( y_1 = \frac{-3}{\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}}, \quad y_2 = \frac{-3}{-\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}}. \)
- Для \( z_2 \):
\( x_3 = \sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}, \quad x_4 = -\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}. \)
Опять же выразим \( y \):
\( y_3 = \frac{-3}{\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}}, \quad y_4 = \frac{-3}{-\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}}. \)
Таким образом, у нас есть четыре пары решений для системы уравнений. Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
