3. Ширину прямоугольника увеличили на 3 см и получили квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 24 см². Найдите периметр прямоугольника.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим ширину прямоугольника как \( w \) см, а длину как \( l \) см. После увеличения ширины на 3 см, получаем квадрат со сторонами \( w + 3 \) см.

Площадь прямоугольника равна: \[ S_{rectangle} = l \cdot w \]

Площадь квадрата равна: \[ S_{square} = (w + 3)^2 \]

Согласно условию, площадь квадрата больше площади прямоугольника на 24 см²: \[ (w + 3)^2 = l \cdot w + 24 \]

Теперь развернём уравнение: \[ (w + 3)^2 = w^2 + 6w + 9 \] Таким образом, у нас получается: \[ w^2 + 6w + 9 = l \cdot w + 24 \]

Теперь перенесём все члены в одну сторону: \[ w^2 + 6w + 9 - l \cdot w - 24 = 0 \] \[ w^2 + (6 - l)w - 15 = 0 \]

Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы найти возможные значения \( w \) и \( l \). Дискриминант будет равен: \[ D = b^2 - 4ac = (6 - l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) \]

Решим это уравнение. Если мы представим \( l = 6 + k \) для удобства, то получим: \[ D = k^2 + 12k + 36 + 60 = k^2 + 12k + 96 \]

Это квадратное уравнение можно решить, найдя корни. Тем не менее, чтобы конкретизировать, попробуем выразить \( l \) через \( w \).

Далее, для нахождения периметра прямоугольника: \[ P = 2(l + w) \]

Сначала можно выразить \( l \) через \( w \) из уравнения: \[ l = 6 - w + \sqrt{-w^2 - 12w + 96} \]

После подстановки \( w \) в функция для \( P \), станем иметь формулу для периметра. Находите \( w \) из указанного квадратного уравнения, затем возвращайте к \( l \) и следовательно находите периметр.

Таким образом, найдите \( w \) и \( l \), после чего подставьте в формулу для периметра. Если нужна помощь с решением через конкретные числовые значения, дайте знать, и мы можем пройти через всю процедуру вместе!