В прямоугольнике с вершинами A ( − 4 ; − 4 ) A(−4;−4) , B ( − 4 ; 6 ) B(−4;6) , C ( 8 ; 6 ) C(8;6) , D ( 8 ; − 4 ) D(8;−4) выбрали случайную точку X ( x ; y ) X(x;y) . Найди…

Для решения задачи о вероятности нахождения случайной точки \( X(x; y) \) в определенной области, сначала определим полные характеристики прямоугольника и области, заданной неравенствами.

Прямоугольник имеет вершины:

• \( A(-4; -4) \)
• \( B(-4; 6) \)
• \( C(8; 6) \)
• \( D(8; -4) \)

Теперь найдем его площадь. Длина и ширина прямоугольника:

• Длина (по оси x): \( 8 - (-4) = 12 \)
• Высота (по оси y): \( 6 - (-4) = 10 \)

Таким образом, площадь прямоугольника: \[ S_{\text{прямоугольника}} = 12 \times 10 = 120 \]

Теперь рассмотрим заданные неравенства:

1. \( y \leq x \)
2. \( y \leq 1 \)

Первое неравенство \( y \leq x \) задает область ниже прямой \( y = x \). Второе неравенство \( y \leq 1 \) задает область ниже линии \( y = 1 \).

Теперь определим пересечение этих двух областей. Линия \( y = x \) пересекает линию \( y = 1 \) в точке \( (1; 1) \). Однако, нам нужно учитывать, что эта точка находится в пределах прямоугольника.

Посмотрим, какие координаты удовлетворяют обоим неравенствам. Чтобы найти границы, отметим точки, которые соответствуют неравенству \( y = 1 \):

• Наименьшая \( y \) для этой линии будет при \( x = -4 \), что дает точку \( (-4; 1) \).
• Наибольшая \( x \) для этой линии будет при \( x = 8 \), что дает точку \( (8; 1) \).

Теперь определим область, ограниченную:

• По вертикали: от \( x = -4 \) до \( x = 8 \).
• По горизонтали: от \( y = -4 \) (нижняя граница прямоугольника) до \( y = 1 \) (по неравенствам)

Это дает нам прямоугольник с вершинами:

1. \( (-4; -4) \)
2. \( (-4; 1) \)
3. \( (8; 1) \)
4. \( (8; -4) \)

Чтобы найти площадь этой новой области, вычислим:

• Ширина: \( 8 - (-4) = 12 \)
• Высота: \( 1 - (-4) = 5 \)

Площадь области, где выполняются оба неравенства: \[ S_{\text{области}} = 12 \times 5 = 60 \]

Теперь можем найти вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) принадлежит данной области, деля площадь области на площадь прямоугольника: \[ P = \frac{S_{\text{области}}}{S_{\text{прямоугольника}}} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, вероятность того, что случайная точка \( X(x; y) \) принадлежит области, заданной неравенствами, равна \( \frac{1}{2} \) или 50%.