Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функции y = 10/x и y = 10x. Имеет ли эти графики общие точки, и если имеет, то сколько?
Чтобы изобразить графики функций \( y = \frac{10}{x} \) и \( y = 10x \) в одной и той же системе координат, давайте сначала рассмотрим каждую из функций.
График функции \( y = \frac{10}{x} \):
- Эта функция определена для всех значений \( x \), кроме \( x = 0 \).
- По мере увеличения \( x \) (в положительном направлении) значение \( y \) уменьшается и стремится к нулю. При этом при \( x < 0 \) функция принимает отрицательные значения и также стремится к нулю, когда \( x \) приближается к нулю.
- График выглядит как гипербола в двух квадрантах: I (где \( x > 0 \) и \( y > 0 \)) и III (где \( x < 0 \) и \( y < 0 \)).
График функции \( y = 10x \):
- Это линейная функция, которая проходит через начало координат (0,0) и имеет положительный наклон.
- Если \( x \) положительно, \( y \) также положительно, и наоборот, если \( x \) отрицательно, \( y \) будет отрицательным. График — прямая линия.
Теперь, чтобы узнать, имеют ли эти графики общие точки, приравняем обе функции:
\[ \frac{10}{x} = 10x \]
Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):
\[ 10 = 10x^2 \]
Разделим обе стороны на 10:
\[ 1 = x^2 \]
Это уравнение имеет два решения:
\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]
Теперь подставим эти значения \( x \) обратно в одну из функций, чтобы найти соответствующие значения \( y \):
Для \( x = 1 \): \[ y = 10 \times 1 = 10 \] Таким образом, точка: \( (1, 10) \).
Для \( x = -1 \): \[ y = 10 \times (-1) = -10 \] Таким образом, точка: \( (-1, -10) \).
Таким образом, графики двух функций имеют две общие точки: \( (1, 10) \) и \( (-1, -10) \).
Если вы хотите, можете нарисовать графики, чтобы визуально убедиться, что они пересекаются в этих точках. Если потребуется дополнительная помощь или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
