Реши уравнение методом рационализации: (x+1) sqrt(x^(2)-5x+5)=x+1
Чтобы решить уравнение методом рационализации, начнем с данного уравнения:
\[ (x+1) \sqrt{x^{2} - 5x + 5} = x + 1 \]
Первое, что можно сделать, это упростить уравнение. Заметим, что необходимо рассмотреть два случая: когда \(x + 1 \neq 0\) и когда \(x + 1 = 0\).
- Рассмотрим случай, когда \(x + 1 \neq 0\):
В этом случае мы можем разделить обе стороны уравнения на \(x + 1\):
\[ \sqrt{x^{2} - 5x + 5} = 1 \]
Теперь мы можем избавиться от квадратного корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:
\[ x^{2} - 5x + 5 = 1 \]
Упростим полученное уравнение:
\[ x^{2} - 5x + 4 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен:
\[ D = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Теперь подставим значения:
\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]
Таким образом, мы получили два возможных решения: \(x = 4\) и \(x = 1\).
- Рассмотрим случай, когда \(x + 1 = 0\):
В этом случае мы имеем:
\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \]
Теперь нужно проверить найденные решения \(x = 4\), \(x = 1\) и \(x = -1\) в исходном уравнении:
- Для \(x = 4\):
\[ (4 + 1) \sqrt{(4)^{2} - 5 \cdot 4 + 5} = 5 \cdot \sqrt{16 - 20 + 5} = 5 \cdot \sqrt{1} = 5 \] \[ 4 + 1 = 5 \]
- Для \(x = 1\):
\[ (1 + 1) \sqrt{(1)^{2} - 5 \cdot 1 + 5} = 2 \cdot \sqrt{1 - 5 + 5} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \] \[ 1 + 1 = 2 \]
- Для \(x = -1\):
\[ (-1 + 1) \sqrt{(-1)^{2} - 5 \cdot (-1) + 5} = 0 \] \[ -1 + 1 = 0 \]
Все найденные значения \(x = 4\), \(x = 1\) и \(x = -1\) являются решениями уравнения.
Ответ: \(x = 4\), \(x = 1\), \(x = -1\).
