Найти наименьшее значение выражения 4а^2 + 4а +2

Чтобы найти наименьшее значение выражения \(4a^2 + 4a + 2\), можно использовать метод completing the square (завершение квадрата).

1. Начнем с выделения полного квадрата. Вынесем общий множитель перед \(a^2\): \[ 4(a^2 + a) + 2 \]

2. Теперь сосредоточимся на выражении \(a^2 + a\). Для завершения квадрата добавим и вычтем \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\): \[ 4\left(a^2 + a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + 2 \] Это можно переписать как: \[ 4\left(\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 2 \]

3. Раскроем скобки: \[ 4\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 \] Получим: \[ 4\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 2 \] Это упрощается к: \[ 4\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 \]

4. Теперь видно, что квадратное выражение \(\left(a + \frac{1}{2}\right)^2\) всегда неотрицательно и минимальное значение равно 0. Оно достигается, когда \(a = -\frac{1}{2}\).

5. Подставим это значение обратно в уравнение, чтобы найти наименьшее значение всего выражения: \[ 4 \cdot 0 + 1 = 1 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \(4a^2 + 4a + 2\) равно 1, которое достигается при \(a = -\frac{1}{2}\).