Две случайные величины X и Y распределены по геометрическому закону. Математическое ожидание случайной величины Х равно 3, случайной величины Y - 8, а коэффициент корреляции равен 0,6. Найди значение дисперсии D(X - Y). (Результат округли до целого.
Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции случайных величин.
Математическое ожидание:
- Из условия задачи известно, что \( E(X) = 3 \) и \( E(Y) = 8 \).
Дисперсия: Для геометрического распределения математическое ожидание случайной величины \( X \) можно выразить как \( E(X) = \frac{1}{p} \), где \( p \) — вероятность успеха. Исходя из этого, вероятность успеха будет: \[ p_X = \frac{1}{E(X)} = \frac{1}{3} \] Дисперсия для геометрического распределения даётся формулой: \[ D(X) = \frac{1 - p}{p^2} \] Подставляем \( p_X \): \[ D(X) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = 6 \]
Аналогично, для случайной величины \( Y \): \[ p_Y = \frac{1}{8} \quad \text{и} \quad D(Y) = \frac{1 - p_Y}{p_Y^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\left(\frac{1}{8}\right)^2} = 56 \]
Коэффициент корреляции: Давайте обозначим \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \) как стандартные отклонения. Тогда: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \rho \] где \( \rho = 0,6 \) — коэффициент корреляции.
Стандартное отклонение считается как \( \sigma = \sqrt{D} \): \[ \sigma_X = \sqrt{6} \quad \text{и} \quad \sigma_Y = \sqrt{56} \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{56} \cdot 0,6 \]
Подсчитаем:
- \( D(X) = 6 \)
- \( D(Y) = 56 \)
- \( \sqrt{6} \approx 2.45 \)
- \( \sqrt{56} \approx 7.48 \)
- \( 2 \cdot 0.6 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{56} \approx 2 \cdot 0.6 \cdot 2.45 \cdot 7.48 \approx 17.6 \)
Подставим всё это в формулу: \[ D(X - Y) = 6 + 56 - 17.6 = 44.4 \]
Округляя до целого, получаем: \[ D(X - Y) \approx 44 \]
Таким образом, значение дисперсии \( D(X - Y) \) составляет 44.
