Серёжа идет сдавать зачёт. Преподаватель задаёт ему три вопроса. Вероятность ответа на каждый вопрос правильно равна 0,9. Случайной величиной Х будет служить число вопросов, на…

Чтобы составить закон распределения случайной величины \( X \), определим, что \( X \) — это число правильных ответов Серёжи на три заданных вопроса. В данном случае мы имеем дело с биномиальным распределением, так как каждый вопрос можно рассматривать как испытание с двумя возможными исходами: правильный ответ (успех) и неправильный ответ (неудача).

Мы обозначим:

• \( n = 3 \) (количество вопросов);
• \( p = 0.9 \) (вероятность успешного ответа на каждый вопрос);
• \( q = 1 - p = 0.1 \) (вероятность неправильного ответа).

Вероятность того, что Серёжа ответит правильно на \( k \) вопросов из 3, можно вычислить с помощью формулы биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь найдем распределение вероятностей для \( k = 0, 1, 2, 3 \):

1. Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.001 = 0.001 \]

2. Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^2 = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.01 = 0.027 \]

3. Для \( k = 2 \): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^1 = 3 \cdot 0.81 \cdot 0.1 = 0.243 \]

4. Для \( k = 3 \): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^0 = 1 \cdot 0.729 \cdot 1 = 0.729 \]

Теперь соберем все вероятности в виде закона распределения:

\[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.001, \\ P(X = 1) & = 0.027, \\ P(X = 2) & = 0.243, \\ P(X = 3) & = 0.729. \end{align*} \]

Таким образом, закон распределения случайной величины \( X \) представлен этими вероятностями.