реши неравенство x²+2x-48<=0 с пораболой
Для решения неравенства \( x^2 + 2x - 48 \leq 0 \) начнем с поиска корней соответствующего уравнения \( x^2 + 2x - 48 = 0 \) с помощью формулы Виета или дискриминанта.
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]
Находим корни уравнения: \[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 14}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]
Анализируем знаки на интервалах: Теперь рассмотри интервал \( (-\infty, -8) \), \( (-8, 6) \) и \( (6, +\infty) \).
- На интервале \( (-\infty, -8) \), например, возьмем \( x = -9 \): \[ (-9)^2 + 2 \cdot (-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0 \]
- На интервале \( (-8, 6) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2 \cdot 0 - 48 = -48 < 0 \]
- На интервале \( (6, +\infty) \), например, возьмем \( x = 7 \): \[ 7^2 + 2 \cdot 7 - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0 \]
Записываем ответ: Таким образом, неравенство \( x^2 + 2x - 48 \leq 0 \) выполняется на интервале \([-8, 6]\) включительно.
Итак, окончательный ответ: \[ x \in [-8, 6] \]
