Масса куска одного металла равна 336 г а куска другого - 320 г объём куска первого металла на 10 см³ меньше объёма второго а плотность первого на 2 Г сантиметров в кубе больше плотность второго Найдите плотность каждого металла
Для решения задачи начнем с обозначения необходимых величин.
Пусть:
- \( \rho_1 \) — плотность первого металла (г/см³);
- \( \rho_2 \) — плотность второго металла (г/см³);
- \( V_1 \) — объем первого металла (см³);
- \( V_2 \) — объем второго металла (см³).
Из условия задачи мы знаем следующее:
- Масса первого металла: \( m_1 = 336 \) г.
- Масса второго металла: \( m_2 = 320 \) г.
- Объем первого металла меньше объема второго на 10 см³: \[ V_1 = V_2 - 10 \]
- Плотность первого металла на 2 г/см³ больше плотности второго: \[ \rho_1 = \rho_2 + 2 \]
Согласно формуле плотности, \( \rho = \frac{m}{V} \), мы можем записать плотности металлов:
\[ \rho_1 = \frac{m_1}{V_1} = \frac{336}{V_1} \]
\[ \rho_2 = \frac{m_2}{V_2} = \frac{320}{V_2} \]
Мы можем подставить \( V_1 \) из первого уравнения во второе уравнение плотности первого металла:
\[ \rho_1 = \frac{336}{V_2 - 10} \] Также подставим \( \rho_1 \) во второе уравнение для плотности:
\[ \frac{336}{V_2 - 10} = \rho_2 + 2 \]
Теперь подставим \( \rho_2 \):
\[ \frac{336}{V_2 - 10} = \frac{320}{V_2} + 2 \]
Умножим на \( V_2(V_2 - 10) \) для устранения знаменателей:
\[ 336 V_2 = 320(V_2 - 10) + 2 V_2 (V_2 - 10) \]
Раскроем скобки:
\[ 336 V_2 = 320 V_2 - 3200 + 2 V_2^2 - 20 V_2 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 336 V_2 = 300 V_2 - 3200 + 2 V_2^2 \]
Переносим все в левую часть уравнения:
\[ 2 V_2^2 - 36 V_2 - 3200 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
\[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3200) = 1296 + 25600 = 26896 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ V_2 = \frac{-(-36) \pm \sqrt{26896}}{2 \cdot 2} \]
Вычисляем \(\sqrt{26896} \approx 164\):
\[ V_2 = \frac{36 \pm 164}{4} \]
Находим два значения:
- \( V_2 = \frac{200}{4} = 50 \) см³ (положительное значение);
- \( V_2 = \frac{-128}{4} = -32 \) см³ (не принимаем).
Теперь, подставим \( V_2 = 50 \) см³ в формулу для \( V_1 \):
\[ V_1 = 50 - 10 = 40 \text{ см}³ \]
Теперь можем найти плотности:
\[ \rho_2 = \frac{320}{50} = 6.4 \text{ г/см}³ \] \[ \rho_1 = \rho_2 + 2 = 6.4 + 2 = 8.4 \text{ г/см}³ \]
Таким образом, плотности металлов равны:
- Плотность первого металла \( \rho_1 = 8.4 \) г/см³.
- Плотность второго металла \( \rho_2 = 6.4 \) г/см³.
