В трапеции ABCD длина средней линии равна 21 см, а ее основания относятся как 2 : 5. Через середину верхнего основания трапеции проведена прямая, параллельная его боковой стороне.…
В трапеции ABCD длина средней линии равна 21 см, а ее основания относятся как 2 : 5. Через середину верхнего основания трапеции проведена прямая, параллельная его боковой стороне. Найдите площадь полученного параллелограмма, если высота трапеции равна 6 см.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Определим длины оснований трапеции. Пусть основание \(AB\) (верхнее) равно \(2x\), а основание \(CD\) (нижнее) равно \(5x\). По формуле длины средней линии трапеции, которая равна средней арифметической ее оснований, имеем:
\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2x + 5x}{2} = \frac{7x}{2} \]
Из условия задачи известно, что длина средней линии равна 21 см:
\[ \frac{7x}{2} = 21 \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 7x = 42 \]
Разделим на 7:
\[ x = 6 \]
Таким образом, согласно этому значению, длины оснований будут:
\[ AB = 2x = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} \quad \text{и} \quad CD = 5x = 5 \cdot 6 = 30 \text{ см}. \]
Находим площадь параллелограмма. Параллелограмм образуется путем проведения прямой через середину верхнего основания \(AB\), параллельной боковым сторонам трапеции. Высота параллелограмма равна высоте трапеции, т.е. 6 см.
Длина одной из сторон параллелограмма равна длине верхнего основания:
\[ AB = 12 \text{ см}. \]
Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
\[ S = \text{основание} \times \text{высота} = 12 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 72 \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь полученного параллелограмма равна \(72 \text{ см}^2\).
