Докажите или опровергните х⊕(y→z)≡(x⊕y)→(x⊕z)
Чтобы доказать равенство логических выражений \( x \oplus (y \to z) \equiv (x \oplus y) \to (x \oplus z) \), начнем с анализа обеих сторон.
Здесь:
- \( \oplus \) обозначает операцию исключающего ИЛИ (XOR).
- \( y \to z \) это импликация, которая равна \( \neg y \lor z \).
Рассмотрим левую сторону:
Левая сторона: \( x \oplus (y \to z) \):
По определению, \( y \to z \) можно записать как \( \neg y \lor z \). Поэтому левая сторона принимает вид: \[ x \oplus (\neg y \lor z) \]
Далее, согласно определению операции XOR: \[ a \oplus b = (a \land \neg b) \lor (\neg a \land b) \]
Применим это к \( x \oplus (\neg y \lor z) \).
Правая сторона: \( (x \oplus y) \to (x \oplus z) \):
Импликация \( A \to B \) также может быть записана как \( \neg A \lor B \). Подставим \( A = x \oplus y \) и \( B = x \oplus z \): \[ (x \oplus y) \to (x \oplus z) = \neg (x \oplus y) \lor (x \oplus z) \]
Теперь, подставляя определения XOR, мы можем анализировать обе стороны.
Для завершения доказательства целесообразно применить таблицы истинности:
| x | y | z | y → z | x ⊕ (y → z) | x ⊕ y | x ⊕ z | (x ⊕ y) → (x ⊕ z) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Теперь сравним колонки для \( x \oplus (y \to z) \) и \( (x \oplus y) \to (x \oplus z) \):
Как видно из таблицы, значения для обеих сторон совпадают для всех возможных комбинаций \( x, y, z \).
Таким образом, мы можем утвердительно сказать, что: \[ x \oplus (y \to z) \equiv (x \oplus y) \to (x \oplus z) \]
Это равенство доказано!
