Вычислить производную функции y =cos√x , используя определение.

Чтобы вычислить производную функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \) с использованием определения производной, нужно воспользоваться пределом:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Где \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \). Начнем с вычисления \( f(x+h) \):

\[ f(x+h) = \cos(\sqrt{x+h}) \]

Теперь подставим это в формулу для производной:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\sqrt{x+h}) - \cos(\sqrt{x})}{h} \]

Чтобы упростить выражение, мы воспользуемся формулой разности косинусов:

\[ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \]

В нашем случае \( A = \sqrt{x+h} \) и \( B = \sqrt{x} \). Тогда:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{2}\right)}{h} \]

Теперь мы анализируем выражение \( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \). Оценим его:

\[ \sqrt{x+h} - \sqrt{x} = \frac{(x+h) - x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]

Следовательно, \( \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \) становится:

\[ \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]

Когда \( h \) стремится к нулю, это выражение будет стремиться к \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Теперь обратимся к предельному выражению:

\[ \frac{\sin\left(\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{2}\right)}{h} = \frac{\sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{2} \to 0 \quad \text{при } h \to 0 \]

Итак, осталось:

\[ f'(x) = -2 \sin\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)}{\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \) равна:

\[ \frac{dy}{dx} = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]