решите графически систему уравнений xy = 5 y - x = 4

Для графического решения системы уравнений:

1. Первое уравнение: \( xy = 5 \)

Чтобы построить график этого уравнения, можно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{5}{x} \]

Этот график будет гиперболой, и мы можем построить его, вычислив несколько значений:

• Если \( x = 1 \), то \( y = 5 \) (точка (1, 5))
• Если \( x = 5 \), то \( y = 1 \) (точка (5, 1))
• Если \( x = -1 \), то \( y = -5 \) (точка (-1, -5))
• Если \( x = -5 \), то \( y = -1 \) (точка (-5, -1))

2. Второе уравнение: \( y - x = 4 \)

Это уравнение можно выразить в виде: \[ y = x + 4 \]

Это уравнение представляет собой прямую, которая проходит через точку (0, 4) и имеет наклон 1. Несколько точек для этой прямой:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 4 \) (точка (0, 4))
• Если \( x = 2 \), то \( y = 6 \) (точка (2, 6))
• Если \( x = -2 \), то \( y = 2 \) (точка (-2, 2))

3. Построение графиков:

• Начертите график гиперболи \( y = \frac{5}{x} \).
• Затем начертите прямую \( y = x + 4 \) на том же графике.

4. Поиск точек пересечения:

Чтобы найти решение системы, необходимо определить, в каких точках графики пересекаются. Это можно сделать либо графически, используя координатную плоскость, либо аналитически, подставив значение \( y \) из второго уравнения в первое.

Подставим \( y = x + 4 \) в уравнение гиперболы: \[ x(x + 4) = 5 \] \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -5 \]

Теперь найдем значения \( y \) для этих \( x \):

1. Для \( x = 1 \): \[ y = 1 + 4 = 5 \] (точка (1, 5))

2. Для \( x = -5 \): \[ y = -5 + 4 = -1 \] (точка (-5, -1))

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (1, 5) и (-5, -1).