sin2x+(2^1/2)*sinx=0. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3п/2;3п/2]

Для решения уравнения \( \sin(2x) + \sqrt{2} \sin(x) = 0 \), начнем с использования формулы двойного угла для синуса:

\[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x). \]

Подставим это в уравнение:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{2}\sin(x) = 0. \]

Теперь вынесем за скобки \( \sin(x) \):

\[ \sin(x)(2\cos(x) + \sqrt{2}) = 0. \]

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \( \sin(x) = 0 \).
2. \( 2\cos(x) + \sqrt{2} = 0 \).

Решение первого случая: \( \sin(x) = 0 \)

Синус равен нулю при:

\[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

В интервале \([-3\pi/2; 3\pi/2]\) значения \(n\) могут быть следующими:

• \(n = -2 \rightarrow -2\pi\) (не входит в интервал),
• \(n = -1 \rightarrow -\pi\),
• \(n = 0 \rightarrow 0\),
• \(n = 1 \rightarrow \pi\),
• \(n = 2 \rightarrow 2\pi\) (не входит в интервал).

Таким образом, корни из первого случая: \[ x = -\pi, \quad x = 0, \quad x = \pi. \]

Решение второго случая: \( 2\cos(x) + \sqrt{2} = 0 \)

Переносим \(\sqrt{2}\) на другую сторону: \[ 2\cos(x) = -\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) при:

\[ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi. \]

Теперь найдем конкретные значения в интервале \([-3\pi/2; 3\pi/2]\):

1. Для \(x = \frac{3\pi}{4}\):

   • подходит, так как находится в интервале.

2. Для \(x = \frac{5\pi}{4}\):

   • \( \frac{5\pi}{4} \approx 3.93 \), что также находится в интервале.

3. Теперь проверим значения с учетом \(k\):

   • Если \(k = -1\), получаем:
     • \(x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}\),
     • \(x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}\).

Таким образом, из второго случая получаются дополнительные корни: \[ x = -\frac{5\pi}{4}, \quad x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}. \]

Полный список корней

Теперь соберем все корни из обоих случаев:

1. \(x = -\pi\)
2. \(x = 0\)
3. \(x = \pi\)
4. \(x = -\frac{5\pi}{4}\)
5. \(x = -\frac{3\pi}{4}\)
6. \(x = \frac{3\pi}{4}\)
7. \(x = \frac{5\pi}{4}\)

Корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi/2; 3\pi/2]\):

\[ x = -\pi, \quad x = 0, \quad x = \pi, \quad x = -\frac{5\pi}{4}, \quad x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{3\pi}{4}. \]